你拿披薩的方式，很可能是錯(cuò)的

夜未央魚(yú) · 發(fā)表于 2014-10-21 09:05:48

我們都遇到過(guò)這種情況。你抓起一塊披薩，正要一口吞掉的時(shí)候，披薩一下子軟了，從你的指尖處耷拉了下來(lái)。披薩餅本身的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度不夠高，無(wú)法支持整片的重量。也許下次應(yīng)該少加點(diǎn)兒料？不用，無(wú)需絕望。
如果是是個(gè)吃披薩多年的老手，那你應(yīng)該知道怎么對(duì)付這樣的場(chǎng)景：只需把披薩彎成U形即可。（手頭沒(méi)有披薩？拿一張紙?jiān)囼?yàn)一下就好。）

paper-fold-hold.png一張紙拿在手里就會(huì)耷下去，但彎曲握就能讓它筆直。為什么呢？圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
這個(gè)披薩小竅門(mén)的背后，深藏著一項(xiàng)關(guān)于曲面的強(qiáng)力數(shù)學(xué)。這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)如此絕妙，以至于它的發(fā)明人——數(shù)學(xué)天才卡爾·弗雷德里克·高斯（Carl Friedrich Gauss）——給它起了個(gè)拉丁文名叫Theorema Egregium，意思是“絕妙定理”。
拿一張紙，卷成圓柱形紙筒。你可能覺(jué)得顯而易見(jiàn)，紙本來(lái)是平的，卷成筒就彎了，對(duì)吧？可是高斯不這么想。他想給紙的彎曲程度（“曲率”）下一個(gè)定義，讓它不因你人工施加的彎曲而改變。

圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
如果你放大去看一只生活在紙筒上的螞蟻，這只螞蟻可以走很多條不同的路線(xiàn)。它可以沿著彎曲道路橫著走下去，畫(huà)出一個(gè)圓；也可以沿著平坦路線(xiàn)豎著走，走出一條直線(xiàn)。或者它可以把兩種方式組合起來(lái)，走一條螺旋。
高斯的天才在于，他想到把所有這些路線(xiàn)都納入曲率定義里面。辦法是這樣的：從任何一點(diǎn)出發(fā)，找到這只螞蟻能選擇的最極端的兩條路線(xiàn)——也就是最凹的和最凸的兩條線(xiàn)。然后把它們的曲率乘起來(lái)。凸的路線(xiàn)曲率是正的，凹的路線(xiàn)曲率是負(fù)的，直的路線(xiàn)曲率是0。你得到的數(shù)字，就是那個(gè)點(diǎn)上的高斯曲率。

圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
舉幾個(gè)例子吧。對(duì)于紙筒上的螞蟻來(lái)說(shuō)，最極端的兩條路，一條是橫著畫(huà)圓，另一條就是豎著畫(huà)直線(xiàn)。但是因?yàn)橹本€(xiàn)具有0曲率，所以乘起來(lái)總是得到0。照數(shù)學(xué)家的說(shuō)法，紙筒是平的——它的高斯曲率就是0。這正是因?yàn)槟隳苡闷秸募垙埦沓鲆粋€(gè)紙筒。
相反，如果螞蟻活在一個(gè)球上，那么它就無(wú)法找到平坦的路線(xiàn)，每一條道路都會(huì)有一定程度的向外凸出，所以高斯曲率一定是個(gè)正的數(shù)。所以，球是彎的，而筒是平的。你可以把一張紙卷成一個(gè)筒，卻永遠(yuǎn)不能卷成一個(gè)球。

圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
高斯的絕妙定理就是：生活在曲面上的螞蟻，根本不需要離開(kāi)它就能知道曲面的曲率。只要測(cè)量一下距離，計(jì)算一下就行。順便說(shuō)，這也是為什么我們沒(méi)有離開(kāi)宇宙卻能測(cè)量出我們的宇宙是不是平的（根據(jù)目前的觀(guān)測(cè)來(lái)看，它是）。
但這個(gè)定理還有一個(gè)絕妙的結(jié)果：你可以隨意彎曲一個(gè)曲面，只要你不拉長(zhǎng)、壓縮或者撕裂它，高斯曲率一定不會(huì)變。因?yàn)閱渭儚澢桓淖兤渖系木嚯x，所以不管怎么彎，上面的螞蟻總會(huì)計(jì)算出同樣的高斯曲率。
聽(tīng)起來(lái)可能有點(diǎn)兒抽象，但是這推論有十分緊貼現(xiàn)實(shí)的結(jié)果。把一個(gè)橘子切成兩半，吃掉里面的東西，然后把剩下半個(gè)橘子皮放在地上，踩吧。皮永遠(yuǎn)不可能被踩扁成一個(gè)完整的圓。相反，它一定會(huì)裂開(kāi)。這是因?yàn)榍蛎婧推矫鎿碛胁煌母咚骨剩圆慌で?、不撕裂，是不可能把球面壓平的。有沒(méi)有試過(guò)給人寄籃球當(dāng)禮物？包裝紙會(huì)遇到完全一樣的問(wèn)題。不管你怎么彎曲一張紙，它總會(huì)留下一點(diǎn)點(diǎn)“平”的痕跡，所以最后只能得到皺皺巴巴一團(tuán)糟。

桔子皮不可能壓成完整圓——因?yàn)榍蛎婧推矫娓咚骨什煌ǘ医圩悠ひ矝](méi)有什么延展性）。圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
這個(gè)定理的另一個(gè)推論是，平面紙上永遠(yuǎn)不可能畫(huà)出準(zhǔn)確的地圖。很多常見(jiàn)世界地圖投影方式能精確地保留角度，但是在面積上就有嚴(yán)重誤差。數(shù)學(xué)博物館的推特指出，服裝設(shè)計(jì)師也面臨類(lèi)似挑戰(zhàn)——他們?cè)谄矫嫔显O(shè)計(jì)花樣，卻要符合彎曲的人體。

每個(gè)紅色圓圈的實(shí)際面積是相等的，但在地圖上看起來(lái)就有很大的差異。圖片來(lái)源：Stefan Kühn (左), Eric Gaba (右) / Wikimedia
那這一切和披薩餅有什么關(guān)系呀？是這樣的：你拿起披薩之前，它是平的（數(shù)學(xué)上說(shuō)，它的高斯曲率為0）。高斯絕妙定理指出，這片披薩必須有至少一個(gè)方向永遠(yuǎn)保持平整——不管你怎么彎，它一定會(huì)留下一點(diǎn)“平”的痕跡。當(dāng)這片披薩塌下去的時(shí)候，平的方向（紅色箭頭）是朝側(cè)面的，這對(duì)吃掉它可沒(méi)有什么幫助。但是如果你搶在它塌下去之前，先把披薩側(cè)著捏彎，就迫使另一個(gè)方向只能保持平整——也就是對(duì)著你嘴巴的方向。還真是絕妙的定理呀。

沒(méi)想到幾何學(xué)也能這么美味吧。圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
在一個(gè)方向上彎曲，來(lái)迫使它在另一個(gè)方向上保持平直。一旦你理解了這個(gè)點(diǎn)子，你就會(huì)到處都看到它。仔細(xì)看看一片草葉。它通常都是沿著中央葉脈彎曲的，這能幫助它維持筆直，不會(huì)軟塌下去。工程師經(jīng)常用彎曲來(lái)強(qiáng)化結(jié)構(gòu)承載力。在馬德里扎祖拉體育場(chǎng)，西班牙結(jié)構(gòu)工程師埃杜拉多·托羅亞（Eduardo Torroja）設(shè)計(jì)了一套創(chuàng)新的混凝土屋頂，從邊緣一直伸到看臺(tái)上方，遮蔽了大片區(qū)域，而厚度只有幾厘米。這其實(shí)就是披薩技巧。

彎曲的草葉。圖片來(lái)源：Dudley Carr / Flickr

西班牙扎祖拉體育場(chǎng)。圖片來(lái)源：Ximo Michavila
彎曲帶來(lái)力量。想想看：你能站在一個(gè)空易拉罐上，它能輕松承載你的體重；可是易拉罐外壁的厚度差不多和紙一樣薄。它的秘密就是它的彎曲。如果有人趁你站在上面的時(shí)候拿筆戳一下易拉罐，就能戲劇化地展現(xiàn)這一點(diǎn)——只需一個(gè)小凹坑，它就會(huì)在你腳下轟然崩塌。

紙板箱里隱藏的秘密。圖片來(lái)源：Craig Sunter / Flickr
但最日常的例子可能是無(wú)處不在的波形建材。世界上簡(jiǎn)直沒(méi)有比紙板箱更無(wú)聊的東西，但是撕開(kāi)一個(gè)這樣的箱子，你會(huì)看到箱壁里一條熟悉的波浪曲線(xiàn)。這些皺褶在里面可不是為了好看，它們是一種天才的結(jié)構(gòu)方式：讓材料又薄又輕，又能堅(jiān)硬到足以承擔(dān)可觀(guān)的重壓。

很多人小時(shí)候玩過(guò)的把戲：把一張紙折疊幾次就能承載很大的重量，但它背后的數(shù)學(xué)可能你就想不到了。圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
波形金屬板使用的也是同樣的原理。這些不起眼的建材是純實(shí)用性的體現(xiàn)，它們的形態(tài)和其功能完美契合；它們的高強(qiáng)度和相對(duì)低廉造價(jià)使其成為了整個(gè)現(xiàn)代世界的背景。
今天，我們就算看到這些波浪形金屬板也幾乎不會(huì)多想什么。但當(dāng)它們誕生時(shí)，許多人把波形建材看成是奇跡材料。1829年，亨利·帕爾默（Henry Palmer）獲得了波形建材的專(zhuān)利，他是一個(gè)英國(guó)工程師，負(fù)責(zé)建造倫敦碼頭。帕爾默建起了世界上第一個(gè)波形鋼結(jié)構(gòu)建筑——倫敦碼頭的松油棚屋。雖然它今天看來(lái)可能沒(méi)什么了不起，但是聽(tīng)聽(tīng)當(dāng)時(shí)的一家建筑學(xué)雜志是怎么描述它的吧：
不久前路過(guò)倫敦碼頭時(shí)，我們十分滿(mǎn)意地發(fā)現(xiàn)，帕爾默先生新發(fā)明的屋頂已經(jīng)得到了實(shí)際應(yīng)用。……任何一個(gè)目光敏銳的人，路過(guò)的時(shí)候都不可能不被它的優(yōu)雅和簡(jiǎn)潔所打動(dòng)（雖然它只是個(gè)棚屋）；而只要稍加思索，他們就會(huì)相信這一建筑的效率之高、經(jīng)濟(jì)之節(jié)約。我們認(rèn)為，這是自亞當(dāng)誕生以來(lái)，人類(lèi)之手所建造的最輕又最結(jié)實(shí)（以其重量而言）的屋頂。若我們仔細(xì)觀(guān)察（我們?yōu)榱诉@一目的而爬過(guò)了各式各樣的粘稠松油罐），會(huì)發(fā)現(xiàn)這一屋頂?shù)目偤穸冉^對(duì)沒(méi)有超過(guò)十分之一英寸！
這年頭的建筑學(xué)雜志真是大不如前了啊。
雖然波形建材和易拉罐的強(qiáng)度可以很高，但有個(gè)辦法讓這些材料變得更強(qiáng)。想自己找到這個(gè)辦法？去冰箱拿個(gè)雞蛋出來(lái)。放在掌心，整只手握住雞蛋，擠吧。（嘗試這個(gè)的時(shí)候記得別戴戒指。）你會(huì)為它的強(qiáng)度而驚訝的。我就沒(méi)法把雞蛋握壞，哪怕用盡全力也沒(méi)戲。（真的，誰(shuí)試誰(shuí)知道。）

請(qǐng)務(wù)必在家中嘗試一下——好吧，為了安全，別在電腦前嘗試。圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
雞蛋為什么這么強(qiáng)？易拉罐和波形金屬板在一個(gè)方向上是彎的，另一個(gè)還是平的。這一彎曲讓它們擁有了一定強(qiáng)度，但它們還是有可能被壓成本來(lái)的平板。
相反，雞蛋殼兩個(gè)方向上都是彎的。這是它的關(guān)鍵。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，那就是這些雙重彎曲的曲面擁有非零的高斯曲率。像我們先前遇到的橘子皮一樣，這意味著它們不可能被壓平，除非有撕裂或者拉伸——有高斯絕妙定理保證這一點(diǎn)。要打破一個(gè)雞蛋，你必須首先弄出一個(gè)坑。等到雞蛋失去了彎曲，也就失去了強(qiáng)度。

圖片來(lái)源：Owen Cliffe / Wikimedia
核電站冷卻塔的象征性形狀也在兩個(gè)方向上利用了彎曲。這個(gè)形狀叫做雙曲面，能讓所需的材料最少。正常的煙囪很像巨大易拉罐——結(jié)實(shí)是結(jié)實(shí)，但是很容易彎。雙曲面形狀的煙囪靠雙向彎曲來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這樣的彎曲方式能把形狀“鎖死”在空間中，提供額外的強(qiáng)度。
另一種得益于彎曲的形狀是品客“薯片”，照數(shù)學(xué)家的說(shuō)法，這是個(gè)雙曲拋物面（hyperbolic paraboloid，舌頭打結(jié)了沒(méi)？）。

圖片來(lái)源：Aatish Bhatia
自然界運(yùn)用這一形狀的招數(shù)堪稱(chēng)腦洞大開(kāi)。瀨尿蝦有一項(xiàng)臭名昭著的本領(lǐng)——?jiǎng)游锝缋镒羁斓娜瓝羰郑囊蝗虺鋈サ牧Φ雷阋园阎c(diǎn)上的水蒸發(fā)掉，創(chuàng)造出沖擊波和閃光。要想使出這死亡一擊，瀨尿蝦使用了雙曲拋物面形狀的“彈簧”。平時(shí)它把彈簧壓縮起來(lái)儲(chǔ)存巨大的能量，然后一招之內(nèi)釋放出來(lái)。
西班牙-墨西哥建筑師菲利克斯·坎德拉（Félix Candela）很懂薯片形狀的力量。坎德拉是托羅亞的學(xué)生，他的建筑將雙曲拋物面帶到了新的高度（字面意思）。當(dāng)你聽(tīng)到“混凝土”這個(gè)詞的時(shí)候，恐怕只會(huì)想到無(wú)聊透頂?shù)姆綁K建筑，但坎德拉卻利用雙曲拋物面蓋起了巨大的建筑，使用的混凝土薄到不可思議。身為這一材料的真正大師，他既是極富創(chuàng)新的建筑者，也是結(jié)構(gòu)藝術(shù)家。

圖片來(lái)源：Ciudad de las Artes y las Ciencias / Flickr
所以為什么薯片形狀強(qiáng)度如此之高？這和它平衡張力與壓力的方式有關(guān)。一切建筑都要支撐重量，最終將這些重量傳遞到地面上。這一傳遞可以靠?jī)煞N不同方式完成：其一是壓縮，拱頂就是純靠壓力而實(shí)現(xiàn)的例子；另一個(gè)就是拉伸，把一根鎖鏈拎起來(lái)，它的每一環(huán)就都處于拉伸狀態(tài)、受到張力。雙曲拋物面結(jié)合了兩種方式的優(yōu)點(diǎn)。凹下去的U型部分處于拉伸狀態(tài)，而凸起來(lái)的拱頂部分則是壓縮，高斯絕妙定理則保證了任何一個(gè)地方的受力都會(huì)傳遞到四周——因?yàn)檫@是一個(gè)高斯曲率非零的曲面。只要你試圖改變它的形狀，就必須得連帶壓縮或者拉伸一整片區(qū)域才能讓結(jié)果遵從高斯的律令；像紙張那樣只彎曲一條線(xiàn)而不影響其他部分是不可能的。通過(guò)這樣的雙重彎曲，這一形狀實(shí)現(xiàn)了張力和壓力之間的精妙平衡，讓它以很小的厚度就能實(shí)現(xiàn)驚人的強(qiáng)度。
通過(guò)彎曲來(lái)產(chǎn)生強(qiáng)度，這個(gè)想法塑造了我們所見(jiàn)的當(dāng)代世界，而它的根源卻來(lái)自萬(wàn)古不變的幾何學(xué)。所以下一次你抓起一塊披薩的時(shí)候，記得朝周?chē)纯矗蕾p一下這個(gè)簡(jiǎn)單的披薩小把戲背后的龐大遺產(chǎn)吧。